Suite arithmético-géométrique et somme partielle

Exercice 6 — Suite arithmético-géométrique

On considère la suite $(p_n)$ définie par : $p_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$p_{n+1}=2p_n+3$.

1. Calculer $p_1$, $p_2$ et $p_3$.
2. On cherche un réel $\ell$ tel que la suite $(q_n)$ définie par $q_n=p_n-\ell$ soit géométrique.
   a) En substituant dans la relation de récurrence, déterminer la valeur de $\ell$.
   b) Montrer que $(q_n)$ est bien une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
   c) Exprimer $q_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$.
3. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $p_n\ge 1$.
4. Calculer la somme $S_n=p_0+p_1+\dots +p_n$ en fonction de $n$.