نضع لكل n ∈ N ∗ : u n = 1 + 1 ! 1 + 2 ! 1 + ⋯ + n ! 1 و v n = u n + n ⋅ n ! 1 بين أن المتتالية ( u n ) تزايدية قطعا. بين أن المتتالية ( v n ) تناقصية قطعا (يمكن حساب v n + 1 − v n ). بين أن n → + ∞ lim ( v n − u n ) = 0 . استنتج أن المتتاليتين ( u n ) و ( v n ) تتقاربان نحو نفس النهاية (هذه النهاية يرمز إليها بـ e ≈ 2.718).

المتتاليات المتجاورة والثابت e

Difficile

نضع لكل n $\in$ $N^{*}$ :

$u_{n} = 1 + \frac{1}{1 !} + \frac{1}{2 !} + \dots + \frac{1}{n !}$ و $v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n \cdot n !}$

بين أن المتتالية $(u_{n})$ تزايدية قطعا.
بين أن المتتالية $(v_{n})$ تناقصية قطعا (يمكن حساب $v_{n + 1} - v_{n}$ ).
بين أن $n \to + \infty lim (v_{n} - u_{n}) = 0$ .
استنتج أن المتتاليتين $(u_{n})$ و $(v_{n})$ تتقاربان نحو نفس النهاية (هذه النهاية يرمز إليها بـ e ≈ 2.718).

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

لإثبات تزايد $(u_n)$، احسب ببساطة $u_{n+1} - u_n$: ماذا يتبقى؟

2 الإرشاد 2

بخصوص $(v_n)$، احسب $v_{n+1} - v_n$ بوضع كل الحدود على نفس المقام $n(n+1)(n+1)!$.

3 الإرشاد 3

بخصوص السؤال 3، عبّر عن $v_n - u_n$ مباشرة انطلاقا من تعريف $v_n$، ثم اجعل $n$ يؤول إلى $+\infty$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

لإثبات تزايد $(u_{n})$ ، احسب ببساطة $u_{n + 1} - u_{n}$ : ماذا يتبقى؟

بخصوص $(v_{n})$ ، احسب $v_{n + 1} - v_{n}$ بوضع كل الحدود على نفس المقام $n (n + 1) (n + 1)!$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points