لتكن المتتالية ( u n ) معرفة لكل n ∈ N بـ u n = n + 1 n . احسب u 0 ، u 1 ، u 2 ، u 3 . بين أن ( u n ) متزايدة تماما. بين أن ( u n ) محدودة من الأعلى بـ 1 . استنتج نهاية ( u n ) عندما n → + ∞ .

المتتالية المتزايدة u<sub>n</sub> = n/(n+1)

Intermédiaire

Énoncé

لتكن المتتالية $(u_{n})$ معرفة لكل $n \in N$ بـ $u_{n} = \frac{n}{n + 1}$ .

احسب $u_{0}$ ، $u_{1}$ ، $u_{2}$ ، $u_{3}$ .
بين أن $(u_{n})$ متزايدة تماما.
بين أن $(u_{n})$ محدودة من الأعلى بـ $1$ .
استنتج نهاية $(u_{n})$ عندما $n \to + \infty$ .

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pour montrer que la suite est croissante, calcule la différence $u_{n+1} - u_n$ en mettant les deux fractions au même dénominateur $(n+1)(n+2)$, puis regarde le signe du numérateur obtenu.

2 الإرشاد 2

Pour le majorant, réécris $u_n = \dfrac{n}{n+1}$ sous la forme $u_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}$. Que peux-tu dire de $\dfrac{1}{n+1}$ et donc de $u_n$ par rapport à $1$ ?

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Pour montrer que la suite est croissante, calcule la différence $u_{n + 1} - u_{n}$ en mettant les deux fractions au même dénominateur $(n + 1) (n + 2)$ , puis regarde le signe du numérateur obtenu.

Pour le majorant, réécris $u_{n} = \frac{n}{n + 1}$ sous la forme $u_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1}$ . Que peux-tu dire de $\frac{1}{n + 1}$ et donc de $u_{n}$ par rapport à $1$ ?

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