Encadrement et monotonie d'une suite explicite

Facile
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Énoncé

Pour tout entier naturel , on pose :

  1. Calculer les trois premiers termes , et .
  2. Le nombre est-il un terme de la suite ?
  3. Montrer que pour tout : .
  4. Étudier la monotonie de la suite .

Indices

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1 Indice 1
Pour l'encadrement, commence par transformer l'écriture de $v_n$ en effectuant la division : écris $3n+14$ sous la forme $3(n+5)$ plus un reste. Cela fera apparaître $3 - \dfrac{\text{quelque chose}}{n+5}$.
2 Indice 2
Une fois que tu as $v_n = 3 - \dfrac{1}{n+5}$, encadre la fraction $\dfrac{1}{n+5}$ en utilisant le fait que $n \geq 0$, donc $n+5 \geq 5$. Que deviennent les inégalités quand tu multiplies par $-1$ puis ajoutes $3$ ?

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La méthode — par où commencer

Pour l'encadrement, commence par transformer l'écriture de en effectuant la division : écris sous la forme plus un reste. Cela fera apparaître .

Une fois que tu as , encadre la fraction en utilisant le fait que , donc . Que deviennent les inégalités quand tu multiplies par puis ajoutes ?

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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