Suite croissante : u<sub>n</sub> = n/(n+1)

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Énoncé

Soit la suite définie pour tout par .

  1. Calculer , , , .
  2. Montrer que est strictement croissante.
  3. Montrer que est majorée par .
  4. En déduire la limite de quand .

Indices

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1 Indice 1
Pour montrer que la suite est croissante, calcule la différence $u_{n+1} - u_n$ en mettant les deux fractions au même dénominateur $(n+1)(n+2)$, puis regarde le signe du numérateur obtenu.
2 Indice 2
Pour le majorant, réécris $u_n = \dfrac{n}{n+1}$ sous la forme $u_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}$. Que peux-tu dire de $\dfrac{1}{n+1}$ et donc de $u_n$ par rapport à $1$ ?

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La méthode — par où commencer

Pour montrer que la suite est croissante, calcule la différence en mettant les deux fractions au même dénominateur , puis regarde le signe du numérateur obtenu.

Pour le majorant, réécris sous la forme . Que peux-tu dire de et donc de par rapport à ?

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Suite récurrente : changement de variable vers géométrique Tous les exercices du chapitre Encadrement et monotonie d'une suite explicite