لتكن ( u n ) المتتالية المعرفة بـ: u n + 1 = 3 1 u n + 2 et u 0 = 2 بين أن المتتالية ( u n ) محدودة من الأعلى بـ 3 . ادرس رتابة ( u n ) ، ثم استنتج أنه من أجل كل n ∈ N : u n ≥ 2 . نضع v n = u n − 3 . بين أن ( v n ) هندسية. عبر عن v n بدلالة n . استنتج u n بدلالة n . احسب S n = v 0 + v 1 + ⋯ + v n بدلالة n . احسب T n = u 0 + u 1 + ⋯ + u n بدلالة n .

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لتكن $(u_{n})$ المتتالية المعرفة بـ:

$u_{n + 1} = \frac{1}{3} u_{n} + 2 et u_{0} = 2$

بين أن المتتالية $(u_{n})$ محدودة من الأعلى بـ $3$ .
ادرس رتابة $(u_{n})$ ، ثم استنتج أنه من أجل كل $n \in N$ : $u_{n} \geq 2$ .
نضع $v_{n} = u_{n} - 3$ .
1. بين أن $(v_{n})$ هندسية.
2. عبر عن $v_{n}$ بدلالة $n$ .
3. استنتج $u_{n}$ بدلالة $n$ .
احسب $S_{n} = v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n}$ بدلالة $n$ .
احسب $T_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ بدلالة $n$ .

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pour montrer que $u_n \le 3$, utilise un raisonnement par récurrence : vérifie d'abord pour $n=0$, puis suppose que $u_n \le 3$ et montre que cela implique $u_{n+1} \le 3$ en utilisant la relation de récurrence.

2 الإرشاد 2

Pour étudier la monotonie, calcule $u_{n+1} - u_n$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression. Factorise pour faire apparaître $(3 - u_n)$, puis utilise le fait que $u_n \le 3$ pour conclure sur le signe.

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Pour montrer que $u_{n} \leq 3$ , utilise un raisonnement par récurrence : vérifie d'abord pour $n = 0$ , puis suppose que $u_{n} \leq 3$ et montre que cela implique $u_{n + 1} \leq 3$ en utilisant la relation de récurrence.

Pour étudier la monotonie, calcule $u_{n + 1} - u_{n}$ en remplaçant $u_{n + 1}$ par son expression. Factorise pour faire apparaître $(3 - u_{n})$ , puis utilise le fait que $u_{n} \leq 3$ pour conclure sur le signe.

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