لتكن ( u n ) المتتالية المعرفة بـ u 0 = 2 و، لكل n ∈ N ، u n + 1 = 3 1 u n + 2 . بين أن المتتالية ( u n ) محدودة من الأعلى بـ 3 . ادرس رتابة ( u n ) واستنتج أنه لكل n ∈ N ، u n ≥ 2 . نضع v n = u n − 3 . بين أن ( v n ) هندسية، عبر عن v n ثم u n بدلالة n . احسب S n = v 0 + v 1 + ⋯ + v n ثم T n = u 0 + u 1 + ⋯ + u n بدلالة n .

Suite récurrente affine ramenée à une suite géométrique

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لتكن $(u_{n})$ المتتالية المعرفة بـ $u_{0} = 2$ و، لكل $n \in N$ ، $u_{n + 1} = \frac{1}{3} u_{n} + 2$ .

بين أن المتتالية $(u_{n})$ محدودة من الأعلى بـ $3$ .
ادرس رتابة $(u_{n})$ واستنتج أنه لكل $n \in N$ ، $u_{n} \geq 2$ .
نضع $v_{n} = u_{n} - 3$ . بين أن $(v_{n})$ هندسية، عبر عن $v_{n}$ ثم $u_{n}$ بدلالة $n$ .
احسب $S_{n} = v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n}$ ثم $T_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ بدلالة $n$ .

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pour montrer que $u_n \leq 3$, utilise un raisonnement par récurrence : vérifie d'abord que $u_0 \leq 3$, puis suppose que $u_n \leq 3$ et montre que cela implique $u_{n+1} \leq 3$ en utilisant la relation de récurrence.

2 الإرشاد 2

Pour étudier la monotonie, calcule $u_{n+1} - u_n$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression. Factorise pour faire apparaître $(3 - u_n)$, et utilise le fait que $u_n \leq 3$ pour déterminer le signe.

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Pour montrer que $u_{n} \leq 3$ , utilise un raisonnement par récurrence : vérifie d'abord que $u_{0} \leq 3$ , puis suppose que $u_{n} \leq 3$ et montre que cela implique $u_{n + 1} \leq 3$ en utilisant la relation de récurrence.

Pour étudier la monotonie, calcule $u_{n + 1} - u_{n}$ en remplaçant $u_{n + 1}$ par son expression. Factorise pour faire apparaître $(3 - u_{n})$ , et utilise le fait que $u_{n} \leq 3$ pour déterminer le signe.

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