الأعداد a n = n 33 … 3 1 لكل n ∈ N ∗ ، نضع a n = n مرة 33 … 3 1 (الكتابة العشرية هي الرقم 3 مكرر n مرة متبوعاً بالرقم 1 ). تحقق من أن a 1 و a 2 أوليان. بين أنه لكل n ∈ N ∗ : 3 a n + 7 = 1 0 n + 1 . بين أنه لكل k ∈ N ∗ : 1 0 30 k + 2 ≡ 7 [ 31 ] ، ثم استنتج أن 31 يقسم a 30 k + 1 .

Répunits de chiffre 3 terminés par 1 et divisibilité par 31

Intermédiaire

Énoncé

الأعداد $a_{n} = n 33 \dots 3 1$

لكل $n \in N^{*}$ ، نضع $a_{n} = n مرة 33 \dots 3 1$ (الكتابة العشرية هي الرقم $3$ مكرر $n$ مرة متبوعاً بالرقم $1$ ).

تحقق من أن $a_{1}$ و $a_{2}$ أوليان.
بين أنه لكل $n \in N^{*}$ : $3 a_{n} + 7 = 1 0^{n + 1}$ .
بين أنه لكل $k \in N^{*}$ : $1 0^{30 k + 2} \equiv 7 [31]$ ، ثم استنتج أن $31$ يقسم $a_{30 k + 1}$ .

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pour la première question, rappelle-toi qu'un nombre est premier s'il n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à sa racine carrée. Teste $a_1=31$ et $a_2=331$ avec les premiers $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17$.

2 الإرشاد 2

Pour montrer $3a_n+7=10^{n+1}$, écris d'abord $a_n$ sous forme de somme : $a_n = 3 \times \underbrace{11\ldots1}_{n} \times 10 + 1$. Utilise la formule $\underbrace{11\ldots1}_{n} = \dfrac{10^n-1}{9}$ puis développe.

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Pour la première question, rappelle-toi qu'un nombre est premier s'il n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à sa racine carrée. Teste $a_{1} = 31$ et $a_{2} = 331$ avec les premiers $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17$ .

Pour montrer $3 a_{n} + 7 = 1 0^{n + 1}$ , écris d'abord $a_{n}$ sous forme de somme : $a_{n} = 3 \times n 11 \dots 1 \times 10 + 1$ . Utilise la formule $n 11 \dots 1 = \frac{1 0 ^{n} - 1}{9}$ puis développe.

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Répunits de chiffre 3 terminés par 1 et divisibilité par 31

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الأعداد $a_{n} = n 33 \dots 3 1$

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