Le nombre 111…1 (2010 chiffres) et ses diviseurs

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قابلية القسمة للعدد

ليكن العدد الصحيح الذي كتابته العشرية هي .

  1. بين أن قابل للقسمة على .
    1. تحقق من أن عدد أولي وأن .
    2. بين أن يقسم ، ثم استنتج أن يقسم .

إرشادات

— انقر للكشف
1 الإرشاد 1
Pour montrer que $11$ divise $N$, essaie de regrouper les chiffres $1$ par paires consécutives dans la somme $N = 1 + 10 + 10^2 + 10^3 + \ldots + 10^{2009}$. Que remarques-tu dans chaque paire ?
2 الإرشاد 2
Pour montrer que $2011$ divise $N$, utilise d'abord le petit théorème de Fermat avec $p=2011$ et $a=10$ pour trouver une relation avec $10^{2010}$. Ensuite, comme $2011$ divise $9N$ mais pas $9$, applique le théorème de Gauss.

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الطريقة — من أين نبدأ

Pour montrer que divise , essaie de regrouper les chiffres par paires consécutives dans la somme . Que remarques-tu dans chaque paire ?

Pour montrer que divise , utilise d'abord le petit théorème de Fermat avec et pour trouver une relation avec . Ensuite, comme divise mais pas , applique le théorème de Gauss.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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Répunits de chiffre 3 terminés par 1 et divisibilité par 31 كل تمارين الدرس Le nombre 444…4 et multiple formé du chiffre 4