Divisibilité de 5^n − 2^n par un nombre premier

نص التمرين

لیكن $n$ عددًا أوليًا.

1. بيّن أنه إذا كان $n$ يقسم $5^n-2^n$، فإن $n=3$.

2. ليكن $p,q$ عددين أوليين بحيث $3<q<p$ و $pq$ يقسم $(5^p-2^p)(5^q-2^q)$.
   a) بيّن أن $q$ يقسم $5^p-2^p$.
   b) ليكن $a$ عددًا صحيحًا بحيث $2a\equiv 5[q]$. بيّن أن $q\nmid a$، وأن $a^p\equiv 1[q]$ و $a^{q-1}\equiv 1[q]$.
   c) استنتج أن $a\equiv 1[q]$ (نلاحظ أن $p\wedge (q-1)=1$)، ثم توصل إلى تناقض.

3. استنتج أنه إذا كان $p,q$ عددين أوليين بحيث $q<p$ و $pq\mid (5^p-2^p)(5^q-2^q)$، فإن $(p,q)=(13;3)$.