الحسابيات المتطورة: متتالية، القاسم المشترك الأكبر والأعداد الأولية فيما بينها

التمرين 5 — المتتاليات، القاسم المشترك الأكبر والأعداد الأولية فيما بينها (المستوى: صعب)

لكل عدد صحيح طبيعي n، نضع: $u_n=2n^2+3n+1$ و $v_n=2n^2+5n+3$.

1. عامل $u_n$ و $v_n$ إلى جداء عوامل صحيحة (ابحث عن الجذور الصحيحة).
2. بين أن $v_n-u_n=2n+2$ لكل $n\in \mathbb{N}$.
3. ليكن $d_n=\text{pgcd}(u_n,v_n)$. بين أن $d_n$ يقسم $2(2n+2)$، ثم أن $d_n$ يقسم أيضا $2n+1$.
   إشارة: عبر عن $u_n$ بدلالة $(2n+1)$ و $(n+1)$.
4. استنتج أن $d_n$ يقسم $\text{pgcd}(2n+2,2n+1)$، ثم احسب هذا القاسم المشترك الأكبر. استنتج قيمة $d_n$.
5. بين أنه لكل $n\in \mathbb{N}$، العددان الصحيحان $(n+1)$ و $(2n+1)$ أوليان فيما بينهما.
   استنتج أن $u_n$ و $v_n$ أوليان فيما بينهما لكل $n\in \mathbb{N}$.