Intégrale et parité : facteur 1/(e^t+1)

Difficile
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Énoncé

استغلال تماثل على [−1,1]

نضع:

  1. احسب وبيّن أن (ضع ).

  2. استنتج قيمة .

إرشادات

— انقر للكشف
1 الإرشاد 1
Pour calculer $P$, effectue une intégration par parties avec $u=\arctan t$ et $v'=t$, puis utilise la parité de la fonction $t\arctan t$ pour ramener l'intégrale sur $[0,1]$.
2 الإرشاد 2
Pour transformer $J$, effectue le changement de variable $t=-x$ et utilise le fait que $t\arctan t$ est une fonction paire.
3 الإرشاد 3
Additionne l'expression initiale de $J$ et sa nouvelle expression obtenue par le changement de variable : les deux fractions $\frac{1}{e^t+1}$ et $\frac{e^t}{e^t+1}$ se complètent pour donner $1$.

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Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

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الطريقة — من أين نبدأ

Pour calculer , effectue une intégration par parties avec et , puis utilise la parité de la fonction pour ramener l'intégrale sur .

Pour transformer , effectue le changement de variable et utilise le fait que est une fonction paire.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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Astuce de symétrie x → π−x كل تمارين الدرس Encadrement d'une intégrale par des inégalités