Utiliser la symétrie de l'intervalle On pose : I = 0 ∫ π 2 − sin 2 x sin x d x J = 0 ∫ π 2 − sin 2 x x sin x d x . Montrer que J = 2 π I (poser x = π − t ). Calculer I et en déduire la valeur de J .

Astuce de symétrie x → π−x

Difficile

On pose :

$I = 0 \int π \frac{sin x}{2 - sin ^{2} x} d x J = 0 \int π \frac{x sin x}{2 - sin ^{2} x} d x .$

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1 Indice 1

Faites le changement de variable $x = \pi - t$ dans $J$, sachant que $\sin(\pi-t) = \sin t$, et exprimez $J$ en fonction de $I$ et $J$ lui-même.

2 Indice 2

Pour calculer $I$, remarquez que $2 - \sin^2 x = 1 + \cos^2 x$, puis posez $u = \cos x$.

3 Indice 3

Reconnaissez une primitive du type $\arctan$ pour terminer le calcul de $I$, puis utilisez la relation $J = \frac{\pi}{2}I$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Faites le changement de variable $x = π - t$ dans $J$ , sachant que $sin (π - t) = sin t$ , et exprimez $J$ en fonction de $I$ et $J$ lui-même.

Pour calculer $I$ , remarquez que $2 - sin^{2} x = 1 + cos^{2} x$ , puis posez $u = cos x$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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