Système d'intégrales I et J trigonométriques

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Symétrie cos/sin par combinaisons

On pose :

  1. Calculer et .

  2. En déduire les valeurs de et .

Indices

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1 Indice 1
Commence par additionner $I + J$ : tu verras que les numérateurs se simplifient immédiatement avec le dénominateur. Ensuite, calcule $I - J$ en remarquant que $\cos x - \sin x$ ressemble à la dérivée de $\cos x + \sin x$.
2 Indice 2
Pour $I - J$, pose $u(x) = \cos x + \sin x$ et calcule $u'(x)$. Tu reconnaîtras alors une intégrale de la forme $\int \dfrac{u'(x)}{u(x)} dx$. Une fois $I+J$ et $I-J$ trouvés, résous le système pour obtenir $I$ et $J$ séparément.

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La méthode — par où commencer

Commence par additionner : tu verras que les numérateurs se simplifient immédiatement avec le dénominateur. Ensuite, calcule en remarquant que ressemble à la dérivée de .

Pour , pose et calcule . Tu reconnaîtras alors une intégrale de la forme . Une fois et trouvés, résous le système pour obtenir et séparément.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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