Étude de fonction et calcul d'aire entre deux courbes

Exercice 3 — Étude de fonction et aire entre deux courbes

On considère les fonctions f et g définies sur $]0;+\infty [$ par :
$f(x)=x-\ln (x)$    et    $g(x)=1$.

1. Étude de f :

   1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et étudier son signe sur $]0;+\infty [$.
   2. Dresser le tableau de variations de f sur $]0;+\infty [$. Préciser le minimum de f.
   3. Montrer que $f(x)\ge 1$ pour tout $x\in ]0;+\infty [$, c'est-à-dire que $f(x)\ge g(x)$.

2. Intersection des courbes :
   Montrer que les courbes représentatives de f et g se coupent en un unique point A, dont on précisera les coordonnées.

3. Calcul d'aire :
   On note D le domaine délimité par les courbes de f et g sur l'intervalle $[1/e;e]$.

   1. Déterminer le signe de $f(x)-g(x)$ sur $[1/e;e]$ en distinguant les sous-intervalles appropriés.
   2. Calculer l'aire A du domaine D. On rappelle que $\int$ de a à b de $\ln (x)$ dx = $[x\times \ln (x)-x]$ de a à b.