Étude complète et volume de révolution

Exercice 5 — Étude complète d'une fonction et volume de révolution

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +$\infty$[ par : $f(x)=x-1-\ln (x)$.
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i ; j) (unité graphique : 2 cm).

1. Étude de f :

   1. Calculer les limites de f en $0^{+}$ et en +$\infty$.
   2. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations complet.
   3. Montrer que $f(x)\ge 0$ pour tout $x\in$ ]0 ; +$\infty$[, avec égalité uniquement en $x=1$.

2. Tangente en un point :
   Déterminer l'équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse $x=e$.

3. Calcul d'intégrale :
   On admet que $\int$ de a à b de $\ln (x)$ dx = [$x\times \ln (x)-x$] de a à b.
   Calculer $J=\int$ de 1 à $e^2$ de $f(x)$ dx.

4. Aire :
   Soit D le domaine délimité par (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=\frac{1}{e}$ et $x=e$.
   Calculer l'aire A du domaine D en unités d'aire.

5. Volume de révolution :
   On considère le domaine D' délimité par (C), l'axe des abscisses et les droites $x=1$ et $x=e$.
   Calculer le volume V du solide engendré par la rotation de D' autour de l'axe des abscisses.
   On rappelle : $V=\pi \times \int$ de a à b de $[f(x){]}^2$ dx.