Exercice 4 — Étude de fonction et application intégrale Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + ∞ [ par : f ( x ) = x − 1 − ln ( x ) . Calculer f ′ ( x ) et étudier son signe sur ] 0 ; + ∞ [ . En déduire les variations de f et montrer que f ( x ) ≥ 0 pour tout x ∈ ] 0 ; + ∞ [ . Soit g la fonction définie sur [ 1 ; e ] par g ( x ) = ln ( x ) . Interpréter géométriquement, puis calculer l'aire A du domaine délimité par la courbe C g , l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1 et x = e . En utilisant une intégration par parties, calculer 1 ∫ e ln ( x ) d x et vérifier le résultat obtenu à la question 3.

Étude d'une fonction et calcul d'aire — niveau intermédiaire

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Exercice 4 — Étude de fonction et application intégrale

Soit f la fonction définie sur $] 0; + \infty [$ par : $f (x) = x - 1 - ln (x)$ .

Calculer $f^{'} (x)$ et étudier son signe sur $] 0; + \infty [$ .
En déduire les variations de f et montrer que $f (x) \geq 0$ pour tout $x \in] 0; + \infty [$ .
Soit g la fonction définie sur $[1; e]$ par $g (x) = ln (x)$ . Interpréter géométriquement, puis calculer l'aire A du domaine délimité par la courbe $C_{g}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = e$ .
En utilisant une intégration par parties, calculer $1 \int e ln (x) d x$ et vérifier le résultat obtenu à la question 3.

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