Exercice 4 — Intégration par parties et suite d'intégrales Pour tout entier naturel n , on pose I n = 0 ∫ 1 x n × e x d x . Calculer I 0 directement. En utilisant une intégration par parties, montrer que pour tout n ≥ 1 : I n = e − n × I n − 1 En déduire les valeurs de I 1 et I 2 . On pose J n = e − 1 × I n pour tout n ∈ N . Montrer que la suite ( J n ) vérifie la relation : J n + n × J n − 1 = 1 pour tout n ≥ 1 . En utilisant la positivité de l'intégrale, montrer que pour tout n ∈ N , 0 ≤ I n ≤ n + 1 e . En déduire la limite de I n quand n tend vers + ∞ .

Intégration par parties et suite définie par une intégrale

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Exercice 4 — Intégration par parties et suite d'intégrales

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $I_{n} = 0 \int 1 x^{n} \times e^{x} d x$ .

Calculer $I_{0}$ directement.
En utilisant une intégration par parties, montrer que pour tout $n \geq 1$ :
$I_{n} = e - n \times I_{n - 1}$
En déduire les valeurs de $I_{1}$ et $I_{2}$ .
On pose $J_{n} = e^{- 1} \times I_{n}$ pour tout $n \in N$ .
Montrer que la suite $(J_{n})$ vérifie la relation : $J_{n} + n \times J_{n - 1} = 1$ pour tout $n \geq 1$ .
En utilisant la positivité de l'intégrale, montrer que pour tout $n \in N$ , $0 \leq I_{n} \leq \frac{e}{n + 1}$ .
En déduire la limite de $I_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ .

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