Intégrale et parité : facteur 1/(e^t+1)

Difficile
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Énoncé

Exploiter une symétrie sur [−1,1]

On pose :

  1. Calculer et montrer que (poser ).

  2. En déduire la valeur de .

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour calculer $P$, effectue une intégration par parties avec $u=\arctan t$ et $v'=t$, puis utilise la parité de la fonction $t\arctan t$ pour ramener l'intégrale sur $[0,1]$.
2 Indice 2
Pour transformer $J$, effectue le changement de variable $t=-x$ et utilise le fait que $t\arctan t$ est une fonction paire.
3 Indice 3
Additionne l'expression initiale de $J$ et sa nouvelle expression obtenue par le changement de variable : les deux fractions $\frac{1}{e^t+1}$ et $\frac{e^t}{e^t+1}$ se complètent pour donner $1$.

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La méthode — par où commencer

Pour calculer , effectue une intégration par parties avec et , puis utilise la parité de la fonction pour ramener l'intégrale sur .

Pour transformer , effectue le changement de variable et utilise le fait que est une fonction paire.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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