Inégalités fonctionnelles et encadrement Montrer que pour tout t ≥ 0 : 1 − t ≤ 1 + t 1 ≤ 1 . En déduire que pour tout x ≥ 0 : x − 2 x 2 ≤ ln ( 1 + x ) ≤ x . Déterminer un encadrement de I = 0 ∫ 1 ln ( 1 + x ) d x .

Encadrement d'une intégrale par des inégalités

Difficile

Montrer que pour tout $t \geq 0$ : $1 - t \leq \frac{1}{1 + t} \leq 1$ .
En déduire que pour tout $x \geq 0$ : $x - \frac{x ^{2}}{2} \leq ln (1 + x) \leq x$ .
Déterminer un encadrement de $I = 0 \int 1 ln (1 + x) d x$ .

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1 Indice 1

Pour la première inégalité, multiplie $(1-t)$ et $(1+t)$ pour obtenir $1-t^2$, puis compare à $1$.

2 Indice 2

Pour la question 2, intègre l'encadrement de la question 1 entre $0$ et $x$ (les bornes conservent l'ordre des inégalités).

3 Indice 3

Pour la question 3, intègre à nouveau l'encadrement de la question 2, cette fois entre $0$ et $1$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la première inégalité, multiplie $(1 - t)$ et $(1 + t)$ pour obtenir $1 - t^{2}$ , puis compare à $1$ .

Pour la question 2, intègre l'encadrement de la question 1 entre $0$ et $x$ (les bornes conservent l'ordre des inégalités).

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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