Étude d'une suite définie par une intégrale Pour n ∈ N , on pose I n = 1 ∫ 2 ( 1 + x 2 ) n 1 d x . Étudier le sens de variation de la suite ( I n ) . Montrer que la suite ( I n ) est convergente. Montrer que pour tout n ∈ N , 0 ≤ I n ≤ 2 n 1 , puis en déduire n → + ∞ lim I n .

Suite d'intégrales : variation, convergence et limite

Difficile

Pour $n \in N$ , on pose $I_{n} = 1 \int 2 \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{n}} d x$ .

Étudier le sens de variation de la suite $(I_{n})$ .
Montrer que la suite $(I_{n})$ est convergente.
Montrer que pour tout $n \in N$ , $0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{2 ^{n}}$ , puis en déduire $n \to + \infty lim I_{n}$ .

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1 Indice 1

Pour la variation, compare les integrandes de $I_{n+1}$ et $I_n$ sur $[1,2]$.

2 Indice 2

Sur $[1,2]$ on a $1+x^2\ge 2$, ce qui compare les puissances.

3 Indice 3

Pour la limite, majore $\frac{1}{(1+x^2)^n}$ par $\frac{1}{2^n}$ et applique le theoreme des gendarmes.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la variation, compare les integrandes de $I_{n + 1}$ et $I_{n}$ sur $[1, 2]$ .

Sur $[1, 2]$ on a $1 + x^{2} \geq 2$ , ce qui compare les puissances.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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