Une suite menant à l'irrationalité de e Pour tout n ∈ N , on pose u n = 0 ∫ 1 x n e 1 − x d x . Montrer que u 0 = e − 1 et u 1 = e − 2 . Montrer que pour tout n ∈ N , 0 < u n ≤ n + 1 e , et en déduire n → + ∞ lim u n . Montrer que pour tout n ∈ N , u n + 1 = ( n + 1 ) u n − 1 .

Suite récurrente intégrale et irrationalité de e

Difficile

Énoncé

Une suite menant à l'irrationalité de $e$

Pour tout $n \in N$ , on pose $u_{n} = 0 \int 1 x^{n} e^{1 - x} d x$ .

Montrer que $u_{0} = e - 1$ et $u_{1} = e - 2$ .
Montrer que pour tout $n \in N$ , $0 < u_{n} \leq \frac{e}{n + 1}$ , et en déduire $n \to + \infty lim u_{n}$ .
Montrer que pour tout $n \in N$ , $u_{n + 1} = (n + 1) u_{n} - 1$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour $u_0$, c'est une integrale directe de $e^{1-x}$. Pour $u_1$, fais une integration par parties avec $u=x$ et $v'=e^{1-x}$.

2 Indice 2

Pour l'encadrement, remarque que sur $[0,1]$, $x^n\\ge 0$ et $e^{1-x}\\le e$ (car $1-x\\in[0,1]$). Utilise ensuite le theoreme des gendarmes pour la limite.

3 Indice 3

Pour la relation de recurrence, integre $u_{n+1}=\\int_0^1 x^{n+1}e^{1-x}dx$ par parties avec $u=x^{n+1}$ et $v'=e^{1-x}$.

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Pour $u_{0}$ , c'est une integrale directe de $e^{1 - x}$ . Pour $u_{1}$ , fais une integration par parties avec $u = x$ et $v^{'} = e^{1 - x}$ .

Pour l'encadrement, remarque que sur $[0, 1]$ , $x^{n} g e 0$ et $e^{1 - x} l ee$ (car $1 - x in [0, 1]$ ). Utilise ensuite le theoreme des gendarmes pour la limite.

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