لتكن f و g دالتين قابلتين للاشتقاق على [ 0 ; + ∞ [ بحيث f ( 0 ) = g ( 0 ) = 0 . نثبت x > 0 ونفترض g ( x )  = 0 و g ′ لا تنعدم على ] 0 ; x [ . أثبت أنه يوجد c ∈ ] 0 ; x [ بحيث: g ( x ) f ( x ) = g ′ ( c ) f ′ ( c ) .

Théorème des accroissements finis généralisé

Difficile

Énoncé

لتكن $f$ و $g$ دالتين قابلتين للاشتقاق على $[0; + \infty [$ بحيث $f (0) = g (0) = 0$ . نثبت $x > 0$ ونفترض $g (x) \neq = 0$ و $g^{'}$ لا تنعدم على $] 0; x [$ .

أثبت أنه يوجد $c \in] 0; x [$ بحيث:

$\frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{f ^{'} ( c )}{g ^{'} ( c )} .$

إرشادات

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

حاول بناء دالة مساعدة $\varphi$ تجمع بين $f$ و$g$ بحيث يمكن تطبيق مبرهنة رول على $[0;x]$.

2 الإرشاد 2

جرّب $\varphi(t) = f(t)g(x) - g(t)f(x)$ وتحقق من أن $\varphi(0)=\varphi(x)=0$ بفضل الفرضيتين $f(0)=g(0)=0$.

3 الإرشاد 3

طبّق مبرهنة رول على $\varphi$ للحصول على $c$ يحقق $\varphi'(c)=0$، ثم عبّر عن $\varphi'(t)$ وأعد الترتيب لعزل النسبة $f'(c)/g'(c)$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

حاول بناء دالة مساعدة $φ$ تجمع بين $f$ و $g$ بحيث يمكن تطبيق مبرهنة رول على $[0; x]$ .

جرّب $φ (t) = f (t) g (x) - g (t) f (x)$ وتحقق من أن $φ (0) = φ (x) = 0$ بفضل الفرضيتين $f (0) = g (0) = 0$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Théorème de Rolle كل تمارين الدرس Variations et équation à point fixe

Théorème des accroissements finis généralisé

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Théorème des accroissements finis généralisé

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

لقد شاهدت 5 تمارين اليوم 🎯