ليكن a و b بحيث 0 ≤ a ≤ b . أثبت أن: 1 + b 2 b − a ≤ arctan b − arctan a ≤ 1 + a 2 b − a . استنتج أنه من أجل كل x ≥ 0 : 1 + x 2 x ≤ arctan x ≤ x .

Encadrement de arctan par le TAF

Difficile

ليكن $a$ و $b$ بحيث $0 \leq a \leq b$ . أثبت أن:
$\frac{b - a}{1 + b ^{2}} \leq arctan b - arctan a \leq \frac{b - a}{1 + a ^{2}} .$
استنتج أنه من أجل كل $x \geq 0$ : $\frac{x}{1 + x ^{2}} \leq arctan x \leq x .$

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

طبق مبرهنة التزايدات المنتهية على الدالة arctan على $[a,b]$: يوجد $c\in]a,b[$ بحيث $\arctan b-\arctan a=(b-a)\cdot(\arctan)'(c)$.

2 الإرشاد 2

أطر $c$ بين $a$ و $b$ لتستنتج تأطيرا لـ $\dfrac{1}{1+c^2}$، ثم اضرب في $b-a$.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للسؤال الثاني، طبق ببساطة النتيجة السابقة مع $a=0$ و $b=x$، مع تذكر أن $\arctan 0=0$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

طبق مبرهنة التزايدات المنتهية على الدالة arctan على $[a, b]$ : يوجد $c \in] a, b [$ بحيث $arctan b - arctan a = (b - a) \cdot (arctan)^{'} (c)$ .

أطر $c$ بين $a$ و $b$ لتستنتج تأطيرا لـ $\frac{1}{1 + c ^{2}}$ ، ثم اضرب في $b - a$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points