نعتبر الدالة f المعرفة على ] 0 ; + ∞ [ بـ: f ( x ) = arctan ( 2 x 2 1 ) + arctan ( x x − 1 ) − arctan ( x + 1 x ) بين أن f قابلة للاشتقاق على ] 0 ; + ∞ [ ثم احسب f ′ ( x ) . احسب f ( 1 ) ثم استنتج أنه من أجل كل x ∈ ] 0 ; + ∞ [ : arctan ( 2 x 2 1 ) = arctan ( x + 1 x ) − arctan ( x x − 1 ) . نضع S n = k = 1 ∑ n arctan ( 2 k 2 1 ) . بين أن S n = arctan ( n + 1 n ) ثم احسب n → + ∞ lim S n .

Somme télescopique d'arctangentes via une fonction constante

Difficile

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $] 0; + \infty [$ بـ:

$f (x) = arctan (\frac{1}{2 x ^{2}}) + arctan (\frac{x - 1}{x}) - arctan (\frac{x}{x + 1})$

بين أن $f$ قابلة للاشتقاق على $] 0; + \infty [$ ثم احسب $f^{'} (x)$ .
احسب $f (1)$ ثم استنتج أنه من أجل كل $x \in] 0; + \infty [$ : $arctan (\frac{1}{2 x ^{2}}) = arctan (\frac{x}{x + 1}) - arctan (\frac{x - 1}{x})$ .
نضع $S_{n} = k = 1 \sum n arctan (\frac{1}{2 k ^{2}})$ . بين أن $S_{n} = arctan (\frac{n}{n + 1})$ ثم احسب $n \to + \infty lim S_{n}$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

لاشتقاق $f$، استعمل الصيغة $(\arctan u)' = \frac{u'}{1+u^2}$ على كل من الحدود الثلاثة.

2 الإرشاد 2

بعد تبسيط الحدين الأخيرين، اجمعهما في نفس المقام لإظهار $4x^4+1$ ومقارنته بالحد الأول.

3 الإرشاد 3

بمجرد إثبات أن $f' = 0$، تكون $f$ ثابتة: احسب $f(1)$ لاستنتاج المتطابقة، ثم استعملها بشكل تلسكوبي لحساب المجموع $S_n$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

لاشتقاق $f$ ، استعمل الصيغة $(arctan u)^{'} = \frac{u ^{'}}{1 + u ^{2}}$ على كل من الحدود الثلاثة.

بعد تبسيط الحدين الأخيرين، اجمعهما في نفس المقام لإظهار $4 x^{4} + 1$ ومقارنته بالحد الأول.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points