لتكن f الدالة المعرفة على I = [ 1 ; + ∞ [ بـ f ( x ) = 1 + x 1 ، و ( U n ) المتتالية المعرفة بـ U 0 = 2 و، لكل n ∈ N ، U n + 1 = f ( U n ) . بين أن المعادلة f ( x ) = x تقبل حلا وحيدا α ∈ ] 1 ; 2 [ . بين أنه لكل x ∈ [ 1 ; + ∞ [ : ∣ f ′ ( x ) ∣ ≤ 2 1 . a) بين أنه لكل n ∈ N : 1 ≤ U n ≤ 2 . b) استنتج أنه لكل n ∈ N : ∣ U n + 1 − α ∣ ≤ 2 1 ∣ U n − α ∣ . c) عين n → + ∞ lim U n .

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Intermédiaire

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لتكن $f$ الدالة المعرفة على $I = [1; + \infty [$ بـ $f (x) = 1 + \frac{1}{x}$ ، و $(U_{n})$ المتتالية المعرفة بـ $U_{0} = 2$ و، لكل $n \in N$ ، $U_{n + 1} = f (U_{n})$ .

بين أن المعادلة $f (x) = x$ تقبل حلا وحيدا $α \in] 1; 2 [$ .
بين أنه لكل $x \in [1; + \infty [$ : $∣ f^{'} (x) ∣ \leq \frac{1}{2}$ .
a) بين أنه لكل $n \in N$ : $1 \leq U_{n} \leq 2$ . b) استنتج أنه لكل $n \in N$ : $∣ U_{n + 1} - α ∣ \leq \frac{1}{2} ∣ U_{n} - α ∣$ . c) عين $n \to + \infty lim U_{n}$ .

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pour montrer l'existence et l'unicité de $\alpha$, pose $g(x) = f(x) - x$ et étudie ses variations sur $[1\,;2]$. Calcule $g(1)$ et $g(2)$ pour voir si $0$ est atteint.

2 الإرشاد 2

Montre que $g$ est strictement décroissante en calculant $g'(x)$. Vérifie ensuite que $g(1)$ et $g(2)$ sont de signes opposés pour conclure par le théorème des valeurs intermédiaires.

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Pour montrer l'existence et l'unicité de $α$ , pose $g (x) = f (x) - x$ et étudie ses variations sur $[1; 2]$ . Calcule $g (1)$ et $g (2)$ pour voir si $0$ est atteint.

Montre que $g$ est strictement décroissante en calculant $g^{'} (x)$ . Vérifie ensuite que $g (1)$ et $g (2)$ sont de signes opposés pour conclure par le théorème des valeurs intermédiaires.

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