Suite récurrente avec racine carrée : convergence et limite

Intermédiaire
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Énoncé

لتكن المتتالية المعرفة بـ و، لكل ، .

  1. بيّن أنه لكل : .

  2. بيّن أن متزايدة.

  3. استنتج أن متقاربة وحدد نهايتها.

إرشادات

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1 الإرشاد 1
Pour l'encadrement, pense à utiliser un raisonnement par récurrence : vérifie d'abord que $u_0$ satisfait l'encadrement, puis suppose que $1 \leq u_n \leq 3$ et montre que cela entraîne $1 \leq u_{n+1} \leq 3$.
2 الإرشاد 2
Pour la monotonie, compare $u_{n+1}$ et $u_n$ en étudiant le signe de $u_{n+1}^2 - u_n^2$ (car les termes sont positifs). Remplace $u_{n+1}^2$ par $2u_n + 3$ et factorise l'expression obtenue.

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الطريقة — من أين نبدأ

Pour l'encadrement, pense à utiliser un raisonnement par récurrence : vérifie d'abord que satisfait l'encadrement, puis suppose que et montre que cela entraîne .

Pour la monotonie, compare et en étudiant le signe de (car les termes sont positifs). Remplace par et factorise l'expression obtenue.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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Suite homographique ramenée à une suite arithmétique كل تمارين الدرس Limite d'une somme via décomposition en éléments simples