نص التمرين لتكن n ∈ N حيث n ≥ 2 . نعتبر الدالة f n : [ 1 ; + ∞ [ → R المعرفة بـ f n ( x ) = x n − x − 1 . بيّن أنه يوجد عدد وحيد α n > 1 بحيث f n ( α n ) = 0 . بيّن أن f n + 1 ( α n ) > 0 . بيّن أن المتتالية ( α n ) متناقصة، ثم استنتج أنها متقاربة؛ نرمز بـ L لنهايتها. لنفترض أن L > 1 ؛ بيّن أننا نصل إلى تناقض، واستنتج أن L = 1 .

Suite des racines de $x^n - x - 1$

Difficile

لتكن $n \in N$ حيث $n \geq 2$ . نعتبر الدالة $f_{n} : [1; + \infty [\to R$ المعرفة بـ $f_{n} (x) = x^{n} - x - 1$ .

بيّن أنه يوجد عدد وحيد $α_{n} > 1$ بحيث $f_{n} (α_{n}) = 0$ .
بيّن أن $f_{n + 1} (α_{n}) > 0$ .
بيّن أن المتتالية $(α_{n})$ متناقصة، ثم استنتج أنها متقاربة؛ نرمز بـ $L$ لنهايتها.
لنفترض أن $L > 1$ ؛ بيّن أننا نصل إلى تناقض، واستنتج أن $L = 1$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة للسؤال 1، ادرس إشارة $f_n'(x)$ على $[1\,;+\infty[$ لتبيّن أن $f_n$ متزايدة تماما، ثم طبّق مبرهنة القيم الوسيطة.

2 الإرشاد 2

بالنسبة للسؤال 2، استعمل العلاقة $\alpha_n^n = \alpha_n + 1$ (المستنتجة من $f_n(\alpha_n)=0$) للتعبير عن $f_{n+1}(\alpha_n)$ بدلالة $\alpha_n$ فقط.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للسؤال 4، افترض $L > 1$، بيّن أن $\alpha_n^n \to +\infty$ بينما العلاقة $\alpha_n^n = \alpha_n + 1$ تفرض نهاية منتهية: ومنه التناقض.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

بالنسبة للسؤال 1، ادرس إشارة $f_{n}^{'} (x)$ على $[1; + \infty [$ لتبيّن أن $f_{n}$ متزايدة تماما، ثم طبّق مبرهنة القيم الوسيطة.

بالنسبة للسؤال 2، استعمل العلاقة $α_{n}^{n} = α_{n} + 1$ (المستنتجة من $f_{n} (α_{n}) = 0$ ) للتعبير عن $f_{n + 1} (α_{n})$ بدلالة $α_{n}$ فقط.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points