لتكن ( u n ) معرفة بـ u 0 = 1 و u n + 1 = u n + 2 7 u n + 6 . بين أن u n > 0 لكل n ∈ N . بين أن ∣ u n + 1 − 6∣ ≤ 2 1 ∣ u n − 6∣ . استنتج أن ∣ u n − 6∣ ≤ 5 ( 2 1 ) n وأن المتتالية تتقارب نحو 6.

متتالية وتقاربها بالمتراجحة

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لتكن $(u_{n})$ معرفة بـ $u_{0} = 1$ و $u_{n + 1} = \frac{7 u _{n} + 6}{u _{n} + 2}$ .

بين أن $u_{n} > 0$ لكل $n \in N$ .
بين أن $∣ u_{n + 1} - 6∣ \leq \frac{1}{2} ∣ u_{n} - 6∣$ .
استنتج أن $∣ u_{n} - 6∣ \leq 5 (\frac{1}{2})^{n}$ وأن المتتالية تتقارب نحو 6.

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pour montrer que $u_n > 0$, utilise un raisonnement par récurrence : si $u_n > 0$, regarde le signe du numérateur et du dénominateur de $u_{n+1} = \dfrac{7u_n + 6}{u_n + 2}$.

2 الإرشاد 2

Pour l'inégalité clé, calcule $u_{n+1} - 6$ en réduisant au même dénominateur. Tu devrais obtenir une fraction avec $u_n - 6$ au numérateur. Ensuite, majore $\dfrac{1}{u_n+2}$ sachant que $u_n > 0$.

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Pour montrer que $u_{n} > 0$ , utilise un raisonnement par récurrence : si $u_{n} > 0$ , regarde le signe du numérateur et du dénominateur de $u_{n + 1} = \frac{7 u _{n} + 6}{u _{n} + 2}$ .

Pour l'inégalité clé, calcule $u_{n + 1} - 6$ en réduisant au même dénominateur. Tu devrais obtenir une fraction avec $u_{n} - 6$ au numérateur. Ensuite, majore $\frac{1}{u _{n} + 2}$ sachant que $u_{n} > 0$ .

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