Soit ( u n ) définie par u 0 = 2 et u n + 1 = u n + 3 5 u n − 1 . On pose f ( x ) = x + 3 5 x − 1 sur [ 1 , + ∞ [ . Montrer que f est strictement croissante sur [ 1 , + ∞ [ et que f ([ 1 , + ∞ [ ) ⊂ [ 1 , + ∞ [ . Montrer que f ( x ) − x = − x + 3 ( x − 1 ) 2 , en déduire que f ( x ) ≤ x pour x ≥ 1 . Montrer que u n > 1 , que ( u n ) est décroissante et convergente. Calculer sa limite. Soit v n = u n − 1 1 . Montrer que ( v n ) est arithmétique de raison 4 1 et exprimer u n .

Suite avec changement 1/u_n — suite arithmétique (BAC)

Intermédiaire

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = \frac{5 u _{n} - 1}{u _{n} + 3}$ . On pose $f (x) = \frac{5 x - 1}{x + 3}$ sur $[1, + \infty [$ .

Montrer que $f$ est strictement croissante sur $[1, + \infty [$ et que $f ([1, + \infty [) \subset [1, + \infty [$ .
Montrer que $f (x) - x = - \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x + 3}$ , en déduire que $f (x) \leq x$ pour $x \geq 1$ .
Montrer que $u_{n} > 1$ , que $(u_{n})$ est décroissante et convergente. Calculer sa limite.
Soit $v_{n} = \frac{1}{u _{n} - 1}$ . Montrer que $(v_{n})$ est arithmétique de raison $\frac{1}{4}$ et exprimer $u_{n}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer que $(v_n)$ est arithmétique, commence par calculer $v_{n+1} - v_n$. Exprime d'abord $u_{n+1} - 1$ en fonction de $u_n$ en utilisant $f(x) - 1 = \dfrac{5x-1}{x+3} - 1$, puis simplifie cette expression.

2 Indice 2

Tu devrais trouver que $f(x) - 1 = \dfrac{4(x-1)}{x+3}$. Donc $v_{n+1} = \dfrac{1}{u_{n+1}-1} = \dfrac{u_n+3}{4(u_n-1)}$. Décompose maintenant $u_n + 3$ en écrivant $u_n + 3 = (u_n - 1) + 4$ pour faire apparaître $v_n$.

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Pour montrer que $(v_{n})$ est arithmétique, commence par calculer $v_{n + 1} - v_{n}$ . Exprime d'abord $u_{n + 1} - 1$ en fonction de $u_{n}$ en utilisant $f (x) - 1 = \frac{5 x - 1}{x + 3} - 1$ , puis simplifie cette expression.

Tu devrais trouver que $f (x) - 1 = \frac{4 ( x - 1 )}{x + 3}$ . Donc $v_{n + 1} = \frac{1}{u _{n + 1} - 1} = \frac{u _{n} + 3}{4 ( u _{n} - 1 )}$ . Décompose maintenant $u_{n} + 3$ en écrivant $u_{n} + 3 = (u_{n} - 1) + 4$ pour faire apparaître $v_{n}$ .

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