Suite u₀=−3/2 avec encadrement et convergence

Intermédiaire
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Soit définie par et .

  1. Montrer par récurrence que pour tout .
  2. Montrer que est croissante, qu'elle est convergente, et calculer sa limite.

Indices

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1 Indice 1
Pour la récurrence, commence par vérifier l'initialisation avec $u_0 = -\dfrac{3}{2}$. Puis pour l'hérédité, calcule séparément $u_{n+1} - 1$ et $u_{n+1} + 4$ en les mettant au même dénominateur pour factoriser.
2 Indice 2
Pour la croissance, étudie le signe de $u_{n+1} - u_n = \dfrac{3u_n + 4 - u_n^2 - 6u_n}{u_n + 6}$. Factorise le numérateur $-u_n^2 - 3u_n + 4$ en cherchant deux nombres dont le produit vaut $-4$ et la somme $-3$.

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La méthode — par où commencer

Pour la récurrence, commence par vérifier l'initialisation avec . Puis pour l'hérédité, calcule séparément et en les mettant au même dénominateur pour factoriser.

Pour la croissance, étudie le signe de . Factorise le numérateur en cherchant deux nombres dont le produit vaut et la somme .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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