Suite et raisonnement par récurrence avancé

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}$.

1. Montrer que $u_n>0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
2. Montrer que $(u_n)$ est strictement croissante.
3. Montrer par récurrence que $u_n^2\ge 2n+1$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
4. En déduire que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$.
5. Montrer que $u_n^2\le 2n+1+\ln (2n+1)$ pour tout $n\ge 1$. (Bac national)