Soit f ( x ) = 5 − x 4 définie sur [ 3 , 4 ] . On pose u 0 = 3 et u n + 1 = f ( u n ) . Vérifier que f est continue et croissante sur [ 3 , 4 ] , et que f ([ 3 , 4 ]) ⊂ [ 3 , 4 ] . Montrer par récurrence que u n ∈ [ 3 , 4 ] pour tout n . En déduire que ( u n ) est croissante et majorée. Montrer que 0 ≤ 4 − u n + 1 ≤ 2 1 ( 4 − u n ) , puis que 0 ≤ 4 − u n ≤ ( 2 1 ) n . Calculer la limite de ( u n ) .

Suite définie par une fonction — intervalle stable (BAC)

Intermédiaire

Énoncé

Soit $f (x) = 5 - \frac{4}{x}$ définie sur $[3, 4]$ . On pose $u_{0} = 3$ et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ .

Vérifier que $f$ est continue et croissante sur $[3, 4]$ , et que $f ([3, 4]) \subset [3, 4]$ .
Montrer par récurrence que $u_{n} \in [3, 4]$ pour tout $n$ . En déduire que $(u_{n})$ est croissante et majorée.
Montrer que $0 \leq 4 - u_{n + 1} \leq \frac{1}{2} (4 - u_{n})$ , puis que $0 \leq 4 - u_{n} \leq (\frac{1}{2})^{n}$ . Calculer la limite de $(u_{n})$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer que $f([3,4]) \subset [3,4]$, commence par calculer $f(3)$ et $f(4)$. Comme $f$ est croissante, l'image de l'intervalle sera $[f(3), f(4)]$. Vérifie ensuite que ces deux valeurs appartiennent bien à $[3,4]$.

2 Indice 2

Pour l'encadrement $4 - u_{n+1} \leq \dfrac{1}{2}(4 - u_n)$, exprime d'abord $4 - u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ en remplaçant $u_{n+1}$ par $5 - \dfrac{4}{u_n}$. Tu obtiendras une fraction, puis utilise le fait que $u_n \geq 3$ pour majorer cette expression.

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Pour montrer que $f ([3, 4]) \subset [3, 4]$ , commence par calculer $f (3)$ et $f (4)$ . Comme $f$ est croissante, l'image de l'intervalle sera $[f (3), f (4)]$ . Vérifie ensuite que ces deux valeurs appartiennent bien à $[3, 4]$ .

Pour l'encadrement $4 - u_{n + 1} \leq \frac{1}{2} (4 - u_{n})$ , exprime d'abord $4 - u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$ en remplaçant $u_{n + 1}$ par $5 - \frac{4}{u _{n}}$ . Tu obtiendras une fraction, puis utilise le fait que $u_{n} \geq 3$ pour majorer cette expression.

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