Suite récurrente avec point fixe (BAC 2019)

Soit ($u_n$) définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+\frac{1}{7}$.

1. Montrer que $u_n\ge \frac{2}{7}$ pour tout n. Montrer que $u_{n+1}-u_n=-\frac{1}{2}(u_n-\frac{2}{7})$, en déduire que ($u_n$) est décroissante et convergente.
2. Soit $v_n=u_n-\frac{2}{7}$. Calculer $v_0$, montrer que ($v_n$) est géométrique de raison $\frac{1}{2}$.
3. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de n et calculer sa limite.