متتالية حسابية هندسية ومسألة

التمرين 4 — توظيف بنكي بالدار البيضاء

توظف شركة بالدار البيضاء رأسمالاً في حساب بنكي. في بداية كل سنة، تودع مبلغًا إضافيًا قدره 5000 درهم. يدر الحساب فائدة بسعر سنوي قدره 4%.

نرمز بـ $C_n$ إلى الرأسمال (بالدرهم) المتوفر في الحساب بعد السنة n (حيث n $\ge$ 1). الرأسمال الأولي (قبل أي إيداع أو فائدة) هو $C_0=10000$ درهم.

يتطور الرأسمال وفق العلاقة: $C_{n+1}=1,04\times C_n+5000$.

1. احسب $C_1$ و $C_2$.
2. نضع $D_n=C_n+a$ حيث a عدد حقيقي يجب تحديده، بحيث تكون $(D_n)$ متتالية هندسية.
   أ. حدد قيمة a.
   ب. تحقق أن $(D_n)$ متتالية هندسية وحدد أساسها.
   ج. عبر عن $D_n$ ثم عن $C_n$ بدلالة n.
3. حدد بعد كم سنة سيتجاوز الرأسمال 100 000 درهم. سنفترض أن $\log (1,04)\approx 0,0170$ و $\log (3,25)\approx 0,512$.