التمرين 6 — رول، معامل ودراسة دالة مثلثية الجزء A — مبرهنة رول لتكن g الدالة المعرفة على [ 0 ; π ] بـ g ( x ) = sin ( x ) − k x ( x − π ) ، حيث k عدد حقيقي. تحقق من أن g ( 0 ) = g ( π ) = 0 لكل k ∈ R . بين أن g تحقق فرضيات مبرهنة رول على [ 0 ; π ] . استنتج أنه يوجد c ∈ ] 0 ; π [ بحيث cos ( c ) = k ( 2 c − π ) . فسر هذه العلاقة من أجل k = 0 . الجزء B — دراسة دالة نضع k = π 1 ونعرف f على [ 0 ; π ] بـ f ( x ) = sin ( x ) − π x ( x − π ) . احسب f ( 0 ) ، f ( 2 π ) و f ( π ) . احسب f ′ ( x ) وبين أن f ′ ( x ) = cos ( x ) − π 2 x − π . نقبل أن f ′ تنعدم في نقطة وحيدة x 0 ∈ ] 0 ; π [ . بين أن x 0 = 2 π حل للمعادلة f ′ ( x ) = 0 ، وتحقق من ذلك. أنشئ جدول تغيرات f على [ 0 ; π ] وحدد القيمة القصوى لـ f .

مبرهنة رول، دالة مثلثية و وسيط

Difficile Inspiré BAC Côte d'Ivoire

Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire

Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 6 — رول، معامل ودراسة دالة مثلثية

الجزء A — مبرهنة رول

لتكن $g$ الدالة المعرفة على $[0; π]$ بـ $g (x) = sin (x) - k x (x - π)$ ، حيث $k$ عدد حقيقي.

تحقق من أن $g (0) = g (π) = 0$ لكل $k \in R$ .
بين أن $g$ تحقق فرضيات مبرهنة رول على $[0; π]$ .
استنتج أنه يوجد $c \in] 0; π [$ بحيث $cos (c) = k (2 c - π)$ . فسر هذه العلاقة من أجل $k = 0$ .

الجزء B — دراسة دالة

نضع $k = \frac{1}{π}$ ونعرف $f$ على $[0; π]$ بـ $f (x) = sin (x) - \frac{x ( x - π )}{π}$ .

احسب $f (0)$ ، $f (\frac{π}{2})$ و $f (π)$ .
احسب $f^{'} (x)$ وبين أن $f^{'} (x) = cos (x) - \frac{2 x - π}{π}$ .
نقبل أن $f^{'}$ تنعدم في نقطة وحيدة $x_{0} \in] 0; π [$ . بين أن $x_{0} = \frac{π}{2}$ حل للمعادلة $f^{'} (x) = 0$ ، وتحقق من ذلك.
أنشئ جدول تغيرات $f$ على $[0; π]$ وحدد القيمة القصوى لـ $f$ .

إرشادات

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة للجزء أ، احسب مباشرة $g(0)$ و $g(\pi)$ بتعويض $x$ بهاتين القيمتين، مع ملاحظة أن العامل $x(x-\pi)$ ينعدم عند الطرفين.

2 الإرشاد 2

تحقق بعد ذلك من فرضيتي الاتصال والاشتقاق للدالة $g$ (مجموع دوال معتادة)، ثم احسب $g'(x)$ لتطبيق مبرهنة رول.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للجزء ب، احسب $f'(x)$ ثم قيّمه عند $\dfrac{\pi}{2}$؛ ادرس بعد ذلك إشارة $f'$ على جانبي هذه النقطة لبناء جدول التغيرات.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

بالنسبة للجزء أ، احسب مباشرة $g (0)$ و $g (π)$ بتعويض $x$ بهاتين القيمتين، مع ملاحظة أن العامل $x (x - π)$ ينعدم عند الطرفين.

تحقق بعد ذلك من فرضيتي الاتصال والاشتقاق للدالة $g$ (مجموع دوال معتادة)، ثم احسب $g^{'} (x)$ لتطبيق مبرهنة رول.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

تطبيق مبرهنة التزايدات المنتهية والمتراجحات كل تمارين الدرس الاشتقاق في نقطة والمماس الأفقي

مبرهنة رول، دالة مثلثية و وسيط

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

مبرهنة رول، دالة مثلثية و وسيط

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

لقد شاهدت 5 تمارين اليوم 🎯