Application du théorème des accroissements finis et inégalités — Bac Côte d'Ivoire 2023

Exercice 4 — Théorème des accroissements finis et inégalités

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty [$ par :

$f(x)=\ln (1+x)$

1. Vérifier que $f$ est continue sur $[0;1]$ et dérivable sur $]0;1[$. Calculer $f^{\prime }(x)$.
2. En appliquant le théorème des accroissements finis à $f$ sur $[0;x]$ pour $x>0$, montrer qu'il existe $c\in ]0;x[$ tel que $\ln (1+x)=\frac{x}{1+c}$.
3. En déduire que pour tout $x>0$ : $\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$.
4. En utilisant l'inégalité précédente, encadrer $\ln (1,5)$ et donner un encadrement d'amplitude inférieure à $0,1$. (On rappelle que $\ln$ désigne le logarithme naturel.)