Théorème de Rolle, fonction trigonométrique et paramètre

Exercice 6 — Rolle, paramètre et étude d'une fonction trigonométrique

Partie A — Théorème de Rolle

Soit $g$ la fonction définie sur $[0;\pi ]$ par $g(x)=\sin (x)-kx(x-\pi )$, où $k$ est un réel.

1. Vérifier que $g(0)=g(\pi )=0$ pour tout $k\in \mathbb{R}$.
2. Montrer que $g$ vérifie les hypothèses du théorème de Rolle sur $[0;\pi ]$.
3. En déduire qu'il existe $c\in ]0;\pi [$ tel que $\cos (c)=k(2c-\pi )$. Interpréter cette relation pour $k=0$.

Partie B — Étude d'une fonction

On pose $k=\frac{1}{\pi }$ et on définit $f$ sur $[0;\pi ]$ par $f(x)=\sin (x)-\frac{x(x-\pi )}{\pi }$.

4. Calculer $f(0)$, $f\left(\frac{\pi }{2}\right)$ et $f(\pi )$.
5. Calculer $f^{\prime }(x)$ et montrer que $f^{\prime }(x)=\cos (x)-\frac{2x-\pi }{\pi }$.
6. On admet que $f^{\prime }$ s'annule en un unique point $x_0\in ]0;\pi [$. Montrer que $x_0=\frac{\pi }{2}$ est solution de $f^{\prime }(x)=0$, et vérifier.
7. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0;\pi ]$ et déterminer le maximum de $f$.