Exercice 1 — Étude d'une fonction rationnelle On considère la fonction f définie sur R ∖ { 2 } par : f ( x ) = x − 2 x 2 − 3 x + 4 Déterminer les limites de f en − ∞ , en + ∞ , en 2 − et en 2 + . En déduire les asymptotes de la courbe représentative C f . Calculer f ′ ( x ) pour tout x ∈ R ∖ { 2 } . Étudier le signe de f ′ ( x ) et dresser le tableau de variations de f. Écrire l'équation de la tangente à C f au point d'abscisse x = 0 .

Étude d'une fonction rationnelle et tangente — Bac Côte d'Ivoire 2023

Facile Inspiré BAC Côte d'Ivoire

Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire

Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

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Exercice 1 — Étude d'une fonction rationnelle

On considère la fonction f définie sur $R ∖ {2}$ par :

$f (x) = \frac{x ^{2} - 3 x + 4}{x - 2}$

Déterminer les limites de f en $- \infty$ , en $+ \infty$ , en $2^{-}$ et en $2^{+}$ . En déduire les asymptotes de la courbe représentative $C_{f}$ .
Calculer $f^{'} (x)$ pour tout $x \in R ∖ {2}$ . Étudier le signe de $f^{'} (x)$ et dresser le tableau de variations de f.
Écrire l'équation de la tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse $x = 0$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour étudier les limites en $\pm\infty$, commence par effectuer la division euclidienne de $x^2 - 3x + 4$ par $x - 2$. Cela te permettra d'écrire $f(x)$ sous une forme beaucoup plus simple pour voir son comportement.

2 Indice 2

Une fois la division faite, tu obtiendras $f(x) = x - 1 + \dfrac{2}{x-2}$. Observe maintenant ce qui arrive au terme $\dfrac{2}{x-2}$ quand $x$ devient très grand (positif ou négatif), et aussi quand $x$ s'approche de $2$ par la gauche puis par la droite.

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Pour étudier les limites en $\pm \infty$ , commence par effectuer la division euclidienne de $x^{2} - 3 x + 4$ par $x - 2$ . Cela te permettra d'écrire $f (x)$ sous une forme beaucoup plus simple pour voir son comportement.

Une fois la division faite, tu obtiendras $f (x) = x - 1 + \frac{2}{x - 2}$ . Observe maintenant ce qui arrive au terme $\frac{2}{x - 2}$ quand $x$ devient très grand (positif ou négatif), et aussi quand $x$ s'approche de $2$ par la gauche puis par la droite.

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