دراسة دالة لوغاريتمية، مبرهنة التزايدات المنتهية ومتراجحات

التمرين 3 — الدالة اللوغاريتمية، مبرهنة التزايدات المنتهية والمتراجحات

نعتبر الدالة f المعرفة على $]0;+\infty [$ بما يلي :

$f(x)=x-1-\ln (x)$

نرمز بـ $C_f$ إلى منحناها الممثل في معلم متعامد ممنظم $(O,\vec{ı},\vec{ȷ})$.

الجزء A — دراسة الدالة f

1. احسب $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ و $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. حدد سلوك $C_f$ بجوار 0 وفي $+\infty$.
2. احسب $f^{\prime }(x)$ لكل $x>0$. ادرس إشارتها ثم ضع جدول التغيرات الكامل للدالة f.
3. استنتج أن $f(x)\ge 0$ لكل $x>0$، مع تساوي إذا وفقط إذا كان $x=1$.
   استنتج أن : $\ln (x)\le x-1$ لكل $x>0$.
4. بين أن المستقيم T ذو المعادلة $y=x-1$ مماس للمنحنى $C_f$ في النقطة ذات الأفصول $x=1$. ما هو الوضع النسبي للمنحنى $C_f$ بالنسبة للمستقيم T ؟

الجزء B — تطبيق مبرهنة التزايدات المنتهية

5. طبق مبرهنة التزايدات المنتهية على الدالة $g(x)=\ln (x)$ على المجال $[1;n]$ حيث n عدد صحيح طبيعي مع $n\ge 2$. استنتج وجود $c_n\in ]1;n[$ بحيث :
   $\ln (n)=\frac{n-1}{c_n}$
6. باستخدام التأطير $1<c_n<n$، بين أن :
   $\frac{n-1}{n}<\ln (n)<n-1$
   لكل عدد صحيح $n\ge 2$.
7. استنتج تأطيرا لـ $\ln (10)$، ثم تحقق من اتساقه مع القيمة التقريبية $\ln (10)\approx 2,303$.

الجزء C — امتداد : دراسة متتالية

8. نضع، لكل عدد صحيح $n\ge 1$ : $u_n=n\cdot \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$.
   باستخدام المتراجحة التي تم إثباتها في السؤال 3 مع $x=1+\frac{1}{n}$، بين أن :
   $u_n<1$ لكل $n\ge 1$.
9. بين أن $u_n>\frac{n}{n+1}$ لكل $n\ge 1$، ثم استنتج أن المتتالية $(u_n)$ متقاربة وحدد نهايتها.