Théorème de Rolle et étude d'une fonction logarithmique

Exercice 5 — Théorème de Rolle, fonction logarithmique et inégalités

On considère la fonction f définie sur $]0,+\infty [$ par : $f(x)=\ln (x)-x+1$.

1. Partie A — Étude de f
   a. Calculer $f^{\prime }(x)$ et étudier son signe sur $]0,+\infty [$.
   b. Dresser le tableau de variations de f et en déduire que $f(x)\le 0$ pour tout $x>0$, avec égalité si et seulement si $x=1$.
   c. En déduire l'inégalité fondamentale : $\ln (x)\le x-1$ pour tout $x>0$.
2. Partie B — Application à une seconde fonction
   On définit g sur $]0,+\infty [$ par : $g(x)=x-1-\ln (x)$.
   a. Exprimer g en fonction de f et en déduire le signe de $g(x)$.
   b. Montrer que pour tous réels $a>0$ et $b>0$, on a : $(a-b)\ln (a/b)\ge 0$. (On pourra poser $t=a/b$.)
3. Partie C — Théorème de Rolle
   On pose $h(x)=f(x)+(x-1)=\ln (x)+x(1-1)$ ... attention, on définit plutôt :
   $h(x)=x\cdot \ln (x)-x+1$ sur $[1/e,e]$.
   a. Vérifier les hypothèses du théorème de Rolle pour h sur $[1/e,e]$.
   b. Conclure sur l'existence d'un point $c\in ]1/e,e[$ tel que $h^{\prime }(c)=0$, et déterminer explicitement la valeur de c.