Étude complète d'une fonction logarithmique, TAF et inégalités

Exercice 3 — Fonction logarithmique, théorème des accroissements finis et inégalités

On considère la fonction f définie sur $]0;+\infty [$ par :

$f(x)=x-1-\ln (x)$

On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O,\vec{ı},\vec{ȷ})$.

Partie A — Étude de f

1. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. Préciser le comportement de $C_f$ au voisinage de 0 et en $+\infty$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x>0$. Étudier son signe et dresser le tableau de variations complet de f.
3. En déduire que $f(x)\ge 0$ pour tout $x>0$, avec égalité si et seulement si $x=1$.
   Conclure que : $\ln (x)\le x-1$ pour tout $x>0$.
4. Montrer que la droite T d'équation $y=x-1$ est tangente à $C_f$ au point d'abscisse $x=1$. Quelle est la position de $C_f$ par rapport à T ?

Partie B — Application du théorème des accroissements finis

5. Appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction $g(x)=\ln (x)$ sur l'intervalle $[1;n]$ où n est un entier naturel avec $n\ge 2$. En déduire l'existence de $c_n\in ]1;n[$ tel que :
   $\ln (n)=\frac{n-1}{c_n}$
6. En utilisant l'encadrement $1<c_n<n$, montrer que :
   $\frac{n-1}{n}<\ln (n)<n-1$
   pour tout entier $n\ge 2$.
7. En déduire un encadrement de $\ln (10)$, puis vérifier sa cohérence avec la valeur approchée $\ln (10)\approx 2,303$.

Partie C — Prolongement : étude d'une suite

8. On pose, pour tout entier $n\ge 1$ : $u_n=n\cdot \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$.
   En utilisant l'inégalité établie en question 3 avec $x=1+\frac{1}{n}$, montrer que :
   $u_n<1$ pour tout $n\ge 1$.
9. Montrer que $u_n>\frac{n}{n+1}$ pour tout $n\ge 1$, puis en déduire que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.