نمذجة التناقص الإشعاعي (وضعية-مسألة)

التمرين 3 — وضعية-مسألة

يدرس مختبر أبحاث بالدار البيضاء اضمحلال عنصر مشع. نمذجة كمية هذا العنصر (بالغرام) الموجودة عند اللحظة t (بالساعات، t $\ge$ 0) بواسطة دالة m تحقق ما يلي:

(E) : $m^{\prime }(t)=-k\cdot m(t)$، حيث k ثابتة موجبة قطعا.

عند t = 0، الكمية الأولية هي $m(0)=80$ g. نلاحظ أنه بعد 6 ساعات، تبقى 20 g.

1. أعط الحل العام للمعادلة (E)، ثم عبر عن $m(t)$ بدلالة k و t مع الأخذ بعين الاعتبار الشرط الأولي.
2. حدد القيمة المضبوطة لـ k، ثم قيمة مقربة لها بدقة $10^{-3}$. (نذكر أن $\ln (4)\approx 1,386$.)
3. حدد الزمن T (بالساعات) اللازم لكي تنخفض الكمية إلى 5 g. أعط قيمة مقربة بدقة $10^{-2}$.
4. نسمي عمر النصف الزمن $t_{1/2}$ الذي بعده تنقسم الكمية على 2. احسب $t_{1/2}$ بدلالة k، ثم أعط قيمته المقربة.