دراسة الدالة f(x) = x·e^-x

لتكن الدالة $f(x)=x\cdot e^{-x}$ المعرفة على $\mathbb{R}$.

1. احسب نهايتي الدالة $f$ عند $-\infty$ وعند $+\infty$.
2. احسب $f^{\prime }(x)$، ادرس إشارتها ثم ضع جدول تغيرات الدالة.
3. بين أن المعادلة $f(x)=k$ تقبل حلين إذا وفقط إذا كان $0<k<\frac{1}{e}$.
4. بين أنه لكل $x\ge 0$ : $x\cdot e^{-x}\le \frac{1}{e}$.