Étude de f(x) = (x+1)·e^-x

Soit $f(x)=(x+1)\cdot e^{-x}$ définie sur $\mathbb{R}$.

1. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. Préciser les asymptotes.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$, étudier son signe et dresser le tableau de variations.
3. Déterminer les coordonnées du maximum de $f$.
4. Calculer l'intégrale $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$ par intégration par parties.
5. Montrer que pour tout $x\ge 0$ : $(x+1)e^{-x}\le 1$.