Soit f ( x ) = x ⋅ e − x définie sur R . Calculer les limites de f en − ∞ et en + ∞ . Calculer f ′ ( x ) , étudier son signe et dresser le tableau de variation. Montrer que l'équation f ( x ) = k admet deux solutions si et seulement si 0 < k < e 1 . Montrer que pour tout x ≥ 0 : x ⋅ e − x ≤ e 1 .

Étude de f(x) = x·e<sup>-x</sup>

Intermédiaire

Soit $f (x) = x \cdot e^{- x}$ définie sur $R$ .

Calculer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$ .
Calculer $f^{'} (x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variation.
Montrer que l'équation $f (x) = k$ admet deux solutions si et seulement si $0 < k < \frac{1}{e}$ .
Montrer que pour tout $x \geq 0$ : $x \cdot e^{- x} \leq \frac{1}{e}$ .

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