نص التمرين لتكن f الدالة المعرفة بـ f ( x ) = x + ln ( ∣ e x − 1∣ ) . حدد D f ، ثم احسب f ( − ln 2 ) ، x → + ∞ lim f ( x ) و x → − ∞ lim f ( x ) . بين أنه من أجل كل x ∈ D f : f ′ ( x ) = e x − 1 2 e x − 1 ، ثم أنشئ جدول تغيرات f . بين أن المستقيم ( Δ ) : y = 2 x مقارب مائل لـ ( C f ) في جوار + ∞ ، وادرس الوضع النسبي لـ ( C f ) و ( Δ ) على ] 0 ; + ∞ [ . بين أن المستقيم ( Δ ′ ) : y = x مقارب مائل لـ ( C f ) في جوار − ∞ . بين أن المعادلة f ( x ) = 0 تقبل حلا وحيدا α ∈ ] 0 ; ln 2 [ .

Fonction x + ln|eˣ − 1| et asymptotes obliques

Difficile

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نص التمرين

لتكن $f$ الدالة المعرفة بـ $f (x) = x + ln (∣ e^{x} - 1∣)$ .

حدد $D_{f}$ ، ثم احسب $f (- ln 2)$ ، $x \to + \infty lim f (x)$ و $x \to - \infty lim f (x)$ .
بين أنه من أجل كل $x \in D_{f}$ : $f^{'} (x) = \frac{2 e ^{x} - 1}{e ^{x} - 1}$ ، ثم أنشئ جدول تغيرات $f$ .
بين أن المستقيم $(Δ) : y = 2 x$ مقارب مائل لـ $(C_{f})$ في جوار $+ \infty$ ، وادرس الوضع النسبي لـ $(C_{f})$ و $(Δ)$ على $] 0; + \infty [$ .
بين أن المستقيم $(Δ^{'}) : y = x$ مقارب مائل لـ $(C_{f})$ في جوار $- \infty$ .
بين أن المعادلة $f (x) = 0$ تقبل حلا وحيدا $α \in] 0; ln 2 [$ .

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pour le domaine, cherche quand $|e^x-1|$ s'annule ; pour les limites, sépare les cas $x>0$ (où $e^x-1>0$) et $x<0$ (où $e^x-1<0$) pour lever la valeur absolue.

2 الإرشاد 2

Pour la dérivée, utilise $\left(\ln|u|\right)' = \frac{u'}{u}$ avec $u = e^x-1$, puis mets tout au même dénominateur.

3 الإرشاد 3

Pour les asymptotes, étudie $f(x)-2x$ en $+\infty$ et $f(x)-x$ en $-\infty$ en factorisant par l'exponentielle dominante à l'intérieur du logarithme.

4 الإرشاد 4

Pour la dernière question, applique le théorème de la bijection sur $]0;\ln 2[$ en comparant les signes de $f$ aux bornes.

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Pour le domaine, cherche quand $∣ e^{x} - 1∣$ s'annule ; pour les limites, sépare les cas $x > 0$ (où $e^{x} - 1 > 0$ ) et $x < 0$ (où $e^{x} - 1 < 0$ ) pour lever la valeur absolue.

Pour la dérivée, utilise $(ln ∣ u ∣)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ avec $u = e^{x} - 1$ , puis mets tout au même dénominateur.

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