Étude complète de f(x) = x − 2 + x·e^(2−x)

نص التمرين

أ. لتكن $g$ الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $g(x)=(1-x)e^{2-x}+1$. بين أنه من أجل كل $x\in \mathbb{R}$، $g(x)\ge 0$.

ب. لتكن $f$ الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=x-2+x{e}^{2-x}$.

1. احسب $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ و $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

2. بين أنه من أجل كل $x\in \mathbb{R}$، $f^{\prime }(x)=g(x)$، ثم أنشئ جدول تغيرات $f$.

3. بين أن المستقيم $(\Delta ):y=x-2$ مقارب مائل لـ $(C_f)$ في جوار $+\infty$، وادرس الوضع النسبي لـ $(C_f)$ و $(\Delta )$.

4. بين أن $(C_f)$ تقبل نقطة انعطاف وحيدة إحداثياتها $(2;2)$، وحدد معادلة المماس $(T)$ في هذه النقطة.

5. بين أن المعادلة $f(x)=0$ تقبل حلا وحيدا $\alpha \in \mathbb{R}$، حيث $0<\alpha <1$.