Étude de gₙ(x) = nx + 2ln x et localisation de la racine

نص التمرين

لتكن $n\in \mathbb{N}$ بحيث $n\ge 3$. نعتبر الدالة $g_n$ المعرفة على $]0;+\infty [$ بـ $g_n(x)=nx+2\ln x$.

1. ادرس اتجاه تغير $g_n$ على $]0;+\infty [$.

2. بين أنه من أجل كل $x\in ]0;+\infty [$، $\sqrt{x}>\ln x$.

3. بين أن المعادلة $g_n(x)=0$ تقبل حلا وحيدا ${\alpha }_n$ في $]0;+\infty [$، وأن $\frac{1}{n}<{\alpha }_n<\frac{1}{\sqrt{n}}$. استنتج $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\alpha }_n$.