متتالية معرفة بتكرار وأسية

التمرين 4 — المتتالية والدالة الأسية

نعتبر المتتالية ($u_n$) المعرفة بـ $u_0=0$ و، لكل عدد صحيح طبيعي $n\in \mathbb{N}$:

$u_{n+1}=u_n+e^{-u_n}$.

نعرف أيضاً الدالة f على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=x+e^{-x}$.

1. بين أنه لكل $n\in \mathbb{N}$، $u_n\ge 0$. يمكن الاستعانة بالبرهان بالترجع.
2. بين أن المتتالية ($u_n$) متزايدة تزايداً قطعياً.
3. احسب $f^{\prime }(x)$ وبين أن $f(x)>x$ لكل $x\in \mathbb{R}$. استنتج أن المتتالية ($u_n$) غير محدودة من الأعلى.
4. احسب الحدود الخمسة الأولى للمتتالية (القيم الدقيقة)، وتحقق عددياً من التزايد.
5. بين أنه لكل $n\in \mathbb{N}$: $u_{n+1}-u_n=e^{-u_n}$، وأن هذه الكمية تؤول إلى $0$. ماذا يمكن أن نستنتج حول سلوك المتتالية؟